2 MathJax en Blogger

Muchos deseamos publicar artículos que incluyan ecuaciones matemáticas. He estado investigando acerca de como incluir ecuaciones en Blogger. Así que después de seguir estos pasos podrás desplegar ecuaciones en tu blog.

No he encontré algo que me diera una solución que me dejará satisfecho. Así que opté por consultar directamente la página de http://www.mathjax.org/. Bien he aquí lo que me ha funcionado:

1. Copiar el siguiente código:


<script src='https://d3eoax9i5htok0.cloudfront.net/mathjax/latest/MathJax.js?config=TeX-AMS-MML_HTMLorMML' type='text/javascript'>
</script>


2. En la página de configuración de tu blog eliges la opción plantilla, seguida de la opción Edición HTML.

3. Dar clic en continuar, después de que aparezca la advertencia. Y pegar el código donde se indica en la siguiente imagen.

Eso es todo sólo resta incluir ecuaciones.

Los delimitadores para ecuaciones que estén dentro del párrafo son: \ ( ... \ ) y para las ecuaciones que se muestran centradas independientemente se usan los delimitadores: \ [ ... \ ]  y $ $ ... $ $. Los delimitadores $ ... $ NO ESTÁN SOPORTADOS.

Ejemplo:

La famosa ecuación de Schrödinger \[\hat{H}|\Psi(t)> = i\hbar\frac{d}{dt}|\Psi(t)>\] con el código TEX: \hat{H}|\Psi(t))> = i\hbar\frac{d}{dt}|\Psi(t))>.

En esta liga http://www.mathjax.org/docs/1.1/tex.html podemos ver que códigos Tex están soportados. Espero a todos les sea útil.

0 Límites infinitos

Teorema 1: Sí \(\displaystyle{\lim_{ x \rightarrow a}}\,f(x) =l_{1}\) y \( \displaystyle{\lim_{ x \rightarrow a}} f(x)=l_{2}\,\,entonces \,\, l_{1}= l_{2}\)
Cualquiera pensaría que es un teorema burdo, sin embargo lo que nos dice este teorema es que el limite es único y usando el siguiente teorema se hallaran varios limites.

Teorema 2: El límite \(\displaystyle{\lim_{ x \rightarrow a}} \,\,f(x) =l \)  sí y solo si \(\displaystyle{\lim_{ x \rightarrow a^-}}\) y \(\displaystyle{\lim_{ x \rightarrow a^+}}\) existen y son iguales a \( l \)

 Teorema 3: Sí r es cualquier número entero positivo, entonces \(\displaystyle{\lim_{ x \rightarrow 0^+}}{ 1\over x^r} =+\infty\)

\begin{align*}
\lim _{ x\rightarrow 0^{ - } }{ \frac { 1 }{ x^{ r } }  } = \begin{cases}- \infty \ si \ r \ es \ impar \\ \infty \ si \ r \ es \ par \end{cases}
\end{align*}

Teorema 4: Sí r es cualquier número entero positivo, entonces \(\displaystyle{\lim_{ x \rightarrow\infty }}{ 1\over x^r}= 0\)
Ejemplos:

1.- Para hallar el límite de la función \(\displaystyle{\lim_{ x \rightarrow 0}}{ 1\over x}\) empleamos el teorema 1.
\begin{align*}
\displaystyle{\lim_{ x \rightarrow 0⁺}}{ 1\over x}&= +\infty\\
\displaystyle{\lim_{ x \rightarrow 0^-}}{ 1\over x}&= -\infty\\
\end{align*}
como los límites son diferentes el límite no existe.
2.- Para hallar el límite de la función \(\displaystyle{\lim_{ x \rightarrow 0}}{ 1\over x^2}\)empleamos el teorema 1.
\begin{align*}
\displaystyle{\lim_{ x \rightarrow 0⁺}}{ 1\over x^2}&= +\infty\\
\displaystyle{\lim_{ x \rightarrow 0^-}}{ 1\over x²}&= +\infty\
\end{align*}
en este caso \(\displaystyle{\lim_{ x \rightarrow 0}}{ 1\over x^2}= +\infty\), si nos fijamos en el teorema 3 se obtiene lo mismo.


3.- Para hallar el límite de la función \(\displaystyle{\lim_{ x \rightarrow \infty}}{ x\over x-1}\) notemos que :

\begin{align*}
\displaystyle{\lim_{ x \rightarrow \infty}}{ x\over x-1}&=  \displaystyle{\lim_{x\rightarrow \infty}}{ 1\over 1-{1\over x}}\\
&={ \displaystyle{\lim_{x \rightarrow \infty}}1\over \displaystyle{\lim_{x \rightarrow \infty}}1-\displaystyle{\lim_{x \rightarrow \infty}}{1\over x}}\\
&= {1 \over 1-0}\,\,\,(empleando\,\,\,el\,\,\, teorema \,\,\,4)\\
&= 1
\end{align*}

0 Formulario de Límites

Algunas de las propiedades más importantes de los limites  se muestran a continuación.
Sí c es una constante entoces para cualquier número  a se tiene
$$\displaystyle{\lim_{ x \rightarrow a}}\, \,c  = c $$
$$\displaystyle{\lim_{ x \rightarrow a}}\, \,x = a $$
Sean \( \displaystyle{\lim_{ x \rightarrow a}}\, \, f(x) =l_{1} \) y \( \displaystyle{\lim_{ x \rightarrow a}} g(x)=l_{2} \), y donde n es cualquier número positivo, entonces
$$\displaystyle{\lim_{ x \rightarrow a}}\, \,[ f(x)+g(x)] =l_{1}+l_{2}$$
$$\displaystyle{\lim_{ x \rightarrow a}}\, \,[ f(x)\cdot g(x)] =l_{1}\cdot l_{2}$$
$$\displaystyle{\lim_{ x \rightarrow a}}\, \, [f(x) ]^n=[l_{1}]^n$$
$$\displaystyle{\lim_{ x \rightarrow a}}\, \,{ f(x) \over g(x)} ={l_{1} \over l_{2}}\, \, \, \, \, \,  (con l_{2}\neq 0)$$
$$\displaystyle{\lim_{ x \rightarrow a}}\, \, \sqrt[n]{f(x)}=\sqrt[n]{l_{1}}\, \, \, \, \, \, \, \, ( l_{1}>0)$$
Ejemplos
$$\displaystyle{\lim_{ x \rightarrow 7}}\, \,5 = 5$$
$$\displaystyle{\lim_{ x \rightarrow 9}}\, \,x = 9 $$

\begin{align*}
\displaystyle{\lim_{ x \rightarrow 4}}\, \,x(2x+1)& =  \displaystyle{\lim_{ x \rightarrow 4}}\, \,x \cdot\displaystyle{\lim_{ x \rightarrow 4}}\, \,(2x+1) \\
&=  4 \cdot 9\\
&=36
\end{align*}

\begin{align*}
\displaystyle{\lim_{ x \rightarrow -2}} \, \,(5x+7)^4 &= [\displaystyle{\lim_{ x \rightarrow -2}}(5x+7)]^4\\
&=  (-3)^4\\
&=  81
\end{align*}

\begin{align*}
\displaystyle{\lim_{ x \rightarrow 4}}\, \,{x \over (-7x+1)}&= {\displaystyle{\lim_{ x \rightarrow 4}}\, \,x \over \displaystyle {\lim_{ x \rightarrow 4}}(-7x+1)}\\
& = {4 \over-27}\\
&= -{4 \over 27}
\end{align*}

\begin{align*}
\displaystyle{\lim_{ x \rightarrow 4}} \sqrt[3]{x \over (-7x+1)}&=  \sqrt[3]{ \displaystyle{\lim_{ x \rightarrow 4}}\, \, {x \over (-7x+1)}}\\
&= \sqrt[3]{-{4 \over 27}}\\
&=- {\sqrt[3]{4} \over 3}
\end{align*}

\begin{align*}
\displaystyle{\lim_{ x \rightarrow 4}}\, \,x(2x+1)& =  \displaystyle{\lim_{ x \rightarrow 4}}\, \,x \cdot\displaystyle{\lim_{ x \rightarrow 4}}\, \,(2x+1) \\
&=  4 \cdot 9\\
&=36
\end{align*}
Para hallar los siguientes primero se tiene que reducir la función de lo contrario tendremos \(0 \over 0\), por último se aplica el limite.
\begin{align*}
\displaystyle{\lim_{ x \rightarrow 5}}\, \,{x^2-25\over (x-5)}&= {\displaystyle{\lim_{ x \rightarrow 5}}\, \,(x-5)(x+5) \over \displaystyle {\lim_{ x \rightarrow 5}}(x-5)}\\
& = \displaystyle {\lim_{ x \rightarrow 5}}(x+5)\\
&= 10
\end{align*}

\begin{align*}
\displaystyle{\lim_{ x \rightarrow 4}}{{\sqrt {x}-2}\over{ x-4}}&= {\displaystyle{\lim_{ x \rightarrow 4}}{(\sqrt {x}-2)(\sqrt {x}+2) }\over \displaystyle {\lim_{ x \rightarrow 4}}{(x-4)(\sqrt {x}+2)}}\\
&= \displaystyle{\lim_{ x \rightarrow 4}}{1 \over \sqrt {x}+2}\\
&={\displaystyle{\lim_{ x \rightarrow 4}}1 \over \sqrt {\displaystyle{\lim_{ x \rightarrow 4}}x+\displaystyle{\lim_{ x \rightarrow 4}}2}}\\
&= {1\over \sqrt{4}+2}\\
&= {1\over 4}
\end{align*}

0 Instalación de SAGE en Ubuntu 10.04

Me he dado cuenta de que no muchas personas se sienten cómodas instalando programas que no vienen por default en el "Centro de Software" de Ubuntu. Por eso dedico este espacio para describir paso a paso cómo se instala SAGE en una PC con Ubuntu instalado.

DEPENDENCIAS

Antes de descargar el programo es necesario revizar si nuestro sistema tiene instaladas todas las dependencias.

En el caso de SAGE necesitamos verificar y en su defecto instalar los siguientes programas:

Linux: GCC, g++, gfortran, make, m4, perl, ranlib, y tar

DESCARGA DEL PROGRAMA

Lo primero que necesitamos hacer es ingresar a la página web de SAGE y seleccionar el servidor más cercano a nuestra ubicación.

Después seleccionamos la versión de 32 ó la de 64 bits, dependiendo de la versión de Ubuntu que tengamos instalada. Les recomiendo la versión de 32 bits si están usando ubuntu 10.04 pues es la más compatible.

EXTRACCIÓN DEL PROGRAMA

Esperamos a que se descargue el arhivo. Cuando haya finalizado la descarga DESEMPAQUETAMOS el archivo, dando clic con el botón derecho y pulsando la opción extraer aquí. Esto nos generará una carpeta llamada: sage-4.7.2


Copiamos la carpeta recién extraída a la carpeta personal.

COMPILACIÓN DEL PAQUETE

Abrimos una terminal y tecleamos los comandos:

$ cd sage sage-4.7.2

$ make

Eso es todo, el proceso es automático. Una vez que haya finalizado la compilación sólo resta abrir SAGE usando el comando:

$ ./sage

 

0 Gráficas 2D en SAGE

SAGE puede usarse como un poderoso graficador. Aquí presento algunos de los resultados obtenidos con esta herramienta.

Como comentario debo decir que a mí me gusta usar SAGE desde una terminal porque puedo obtener mejores resultados que en un notebook, es por eso que los procedimientos discutidos a continuación sólo funcionan en una terminal.

La función Plot en SAGE obedece la siguiente sintaxis:

plot(f, xmin, xmax, options)

Dónde:

f: Es la función a graficar.

xmin: el valor mínimo del dominio.

xmax: el valor máximo del dominio.

options: opciones tales como especificar el color del gráfico.

Código de Colores de los gráficos en RGB:

rojo : (1.0,0.0,0.0),

naranja: (1.0,0.5,0.0),

amarillo: (1.0,1.0,0.0),

verde : (0.0,1.0,0.0),

azul : (0.0,0.0,1.0),

morado: (0.5,0.0,1.0),

blanco: (1.0,1.0,1.0),

negro : (0.0,0.0,0.0),

gris : (0.5,0.5,0.5)

Podemos hacer combinaciones intermedias variando los valores de los números.

Para especificar la función podemos hacer una de dos cosas: dar la fórmula de la función, o predefinir una función para luego llamarla.

EJEMPLO 1:

Primero se define la función a graficar. Sea \(f(x)=sen(x)\). Escribimos en SAGE lo siguiente:

sage: def f(x): return sin(x)

Luego usamos el comando plot para crear una gráfica de color azul de la función f que vaya de -10 a 10 radianes:

sage: plot(f,-10,10,rgbcolor=(0.0,0.0,1.0))

Con lo que obtenemos el siguiente resultado:

EJEMPLO 2:

En este ejemplo no definiremos ninguna función sino que se usara el comando plot directamente.

sage: plot(sin(x),-10,10,rgbcolor=(0.0,0.0,1.0))

El resultado es el mismo que del EJEMPLO 1.

La forma de graficar en el segundo ejemplo parece más sencilla sin embargo cuando el número de funciones a graficar aumenta es preferible usar la técnica del EJEMPLO 1.

EJEMPLO 3:

Veamos un ejemplo donde se ve la importancia de declarar funciones. Imaginemos que queremos graficar las funciones suma, \(f+g\), resta, \(f-g\), y la multiplicación, \( (f(x)) (g(x))\). Dónde \(f(x) = sen(x)\), \(g(x) = x\).

Primero declaramos las funciones f y g:

sage: def f(x): return sin(x)

sage: def g(x): return x

Después graficamos una a una las funciones solicitadas, (usamos \(h(x)\) para construir la función suma \(f+g\):

sage: def h1(x):
....:     return f(x)+g(x)
....: 
sage: plot(h1,-10,10)

Función suma \(f+g\).

Ahora la función resta:



sage: def h2(x): return f(x)-g(x)


sage: plot(h2,-10,10)

Función resta \(f-g\).

Por último la función multiplicación:

sage: def h3(x): return g(x)*f(x)

sage: plot(h3,-10,10)

Función multiplicación \(f*g\).

EJEMPLO 4:

Por último sería buena idea el tener todas las gráficas en una misma imagen, esto puede hacerse con el operado '+', como se muestra a continuación:

sage: plot(h1,-10,10,rgbcolor=(1.0,0,0))+plot(h2,-10,10,rgbcolor=(0.0,1.0,0.0))+plot(h3,-10,10,rgbcolor=(0.0,0.0,1.0))

Todas las funciones \(f+g\) en rojo, \(f-g\) en verde y \(f*g\) en azul.

0 INSTALAR LaTeX EN WINDOWS 7

Para instalar LaTeX en Windows 7 sólo hay que hacer lo siguiente:

Primero debemos descargar MIKTEX  versión 2.9 (administrador de los paquetes de compilación de LaTeX)  del siguiente link: http://miktex.org/2.9/setup. Una vez que se ha descargado el paquete, procedemos a instalarlo como cualquier programa de Windows.

Ya instalado MIKTEX podemos hacer uso de su editor de documentos TeXworks que viene incluido en la instalación.

Área de Trabajo de TeXworks, en la ventana izquierda está el código en LATEX y en la ventana derecha una previsualización del documento.

En TeXworks podemos crear cualquier documento que deseemos, pero para algunos usuarios este editor no es lo suficientemente cómodo. Es posible elegir entre un gran número de editores LaTeX para Windows, en particular yo he probado y usado TeXnicCenter. Es un programa cómod y fácil de usar: Lo pueden descargar del siguiente link: http://sourceforge.net/projects/texniccenter/files/TeXnicCenter/1.0%20Stable%20RC1/TXCSetup_1StableRC1.exe/download

También se instala como cualquier paquete de Windows. La primera vez que ejecutamos el programa este nos solicita la ubicación del comopilador LaTeX. Tales archivos se encuentran en la ubicación: C:\Program Files (x86)\MiKTeX 2.9\miktex\bin.

TeXnicCenter

Este programa tiene una gran cantidad de herramientas que nos permiten que la escritura en LaTeX sea más cómoda. Incluye plantillas con encabezados predeterminados e identifica con color azul la palabras reservadas del lenguaje LaTeX para una edición más eficiente.

2 Fórmulas de integración

Aquí presentamos una tabla de integrales. El formulario contiene las integrales básicas y algunas de las más usadas. Debemos recordar que integrar es en general más dificil que derivar. Es por eso que en futuras entradas del blog incluiremos un formulario con técnicas de integración.

Descarga aquí el formulario en PDF para IMPRIMIR

Esperamos les sea de utilidad.

0 Pizarrón Compartido en Línea (On line Whiteboard)

Siempre quise tener un pizarrón virtual que me permitiera colaborar con mis amigos y colegas. El programa que yo deseaba debería contener:

• Un editor de ecuaciones para facilitar la escritura matemática.
• Permitirme chatear o hablar con el otro participante mientras transcurre la sesión.
• Y tener las herramientas clásicas de dibujo.

Encontré dos buenas opciones y quiero compartirlas con los lectores de este blog.

IDROO

La primera es un whiteboard que se usa en conjunto con Skype, su nombre es IDroo. Este programa nos permite durante una sesión de Skype disfrutar de una herramienta de colaboración muy bien hecha. Con ésta podemos estudiar con nuestros compañeros en cualquier lugar y hora que nos encontremos.

Puede descargarse con la condición de que se usará con propósitos sólo hogareños (sin fines de lucro). En caso de usar la herramienta para fines comerciales se pone a disposición una licencia que puede ser adquirida para un mes o hasta para un año (Los precios se especifican en el sitio web).

Lo único que no me gusto es que no está disponible para otras plataformas (Como Linux, o MAC).

SCRIBBLAR

Para los usuarios de otras plataformas (Linux, MAC) que también deseen aprovechar la colaboración a través de intenet existe Scribblar, otro whiteboard. A diferencia de Idroo este no necesita instalarse en el equipo basta acceder a su sitio web y crear una cuenta para poder disfrutar de esta increíble aplicación. Se crea una Room y se puede invitar a nuestros compañeros a participar en nuestra pizarra.

Cuenta con una sección para chatear e incluso establecer una conversación por medio de audio. Cuenta con herramientas de dibujo cómodas y también permite crear ecuaciones a partir de código LATEX. 

Espero les sea de utilidad.

0 SAGE

Todos los que trabajamos con matemáticas necesitamos de un software que nos permita realizar cálculos. Entre los paquetes comerciales está Mathematica, este sofware es perfecto para usarlo como una calculadora, como una caja negra, a la cual sólo le describimos nuestro problema y esta lo resuelve "magicamente".

Pero algunos necesitamos ir más allá y ser capaces de ver el flujo de datos, o incluso de poder modificar la programación de la calculadora, esto es imposible para el software privativo, pues nunca se proporciona el código fuente.

Mientras buscaba en la red una alternativa de código abierto, me encontre con SAGE (Software for Algebra and Geometry Experimentation), este programa es un proyecto iniciado por el matemático William Stein de la Universidad de Washington.

SAGE es sofware libre que permite usar e incorporar diferentes herramientas desarrolladas en Python que son libremente modificadas. Que el programa este escrito en Python tiene por ventaja que no debe aprenderse un nuevo lenguaje. Este programa permite saber exactamente que procedimiento se está siguiendo al realizar los cálculos. Aún no cuenta con tantas herramientas como Mathematica, pero es un proyecto que se encuentra vivo y cada día se añaden nuevas opciones.

El programa está disponible en tres versiones:

• Puedes crear una cuenta en el siguiente link http://www.sagenb.org/ y acceder a un notebook en el cual empezar a trabajar.

• Puede instalarse en un servidor propio (para esta opción es necesario tener conocimientos de programación y de gnu/linux) http://wiki.sagemath.org/DanDrake/JustEnoughSageServer

•  Instalarse en la propia máquina. Si tienes Linux o MAC OSX esta es la forma más sencilla. Lo único que debes hacer es bajar los archivos binarios de la siguiente página http://wiki.sagemath.org/DanDrake/JustEnoughSageServer, desempaquetar el archivo y ejecutar sage en una terminal. Es posible abrir un notebook dentro de firefox escribiendo el comando notebook() una vez que sage se está ejecutando.

 

Notebook en firefox

0 Formulario de Derivadas

Lo prometido es deuda. Aquí está la tabla de derivadas que prometimos. Se encuentran las fórmulas más comunes. Esperamos que les sea de utilidad.

Derivar es un proceso sencillo, sin embargo tener este formulario te evitará tener que memorizar todas las derivadad.

Recordemos también que cuando derivemos debemos estar conscientes que para algunas funciones la derivada no existe, es decir el límite del que depende la derivada no existe. Para aclarar está situación en futuras entradas del blog ingresaremos una discusión de límites junto con un formulario.

Descarga el formulario de derivadas aquí en PDF para IMPRIMIR