El primer paso que debe darse en el emprendimiento del estudio de cualquier ciencia exacta es el aprender, o cuando sea el caso, revisar los conceptos necesarios de matemáticas.
El primer paso que Newton dio para poder llegar a sus famosas ecuaciones de movimiento fue el de desarrollar los conceptos del cálculo infinitesimal. Es por eso que en esta y en posteriores entradas de este blog nos concentraremos en la revisión de los conceptos del cálculo que son necesarios para entender y usar las ecuaciones de Newton.
Nota: El cálculo infinitesimal se refiere al que se ocupa de analizar las cantidades infinitamente pequeñas. Actualmente nos referimos al cálculo infinitesimal simplemente con el término cálculo.
El concepto más importante del cálculo es el de límite. En una clase en la universidad un profesor nos dijo: "Si Arquímedes hubiera tenido el concepto de límite seguramente habría desarrollado todo el cálculo". El comentario de mi profesor debe animarnos a explorar este concepto con interés pues al principio nos parecerá un concepto muy abstracto y para quienes lo ven por primera vez creerán que no tiene utilidad. Intentaré ilustrar este concepto lo más simple posible antes de introducir la definición formal del límite de una función.
Nota: Analizaremos las funciones y su definición matemática en posteriores entradas de este blog.
El primer ejemplo que se me ocurre como físico de límite es el de una superficie sin fricción. Tal superficie en la realidad no existe pero podemos imaginarnos que podemos pulir una superficie lo suficientemente para poder dejarla totalmente lisa y de este modo obtener una superficie que no ejerce fricción alguna sobre otra.
En la práctica muchos científicos e ingenieros intentan fabricar superficies con la menor fricción posible con algún objetivo, por ejemplo, el de ahorrar combustible si se trata de un vehículo. Pero nunca van a poder deshacerse de este efecto en su totalidad.
Aunque no sea posible conseguir tal superficie en el mundo real, nada nos ha impedido imaginárnosla. Es decir hemos asignado un "tope", un límite, al hecho de pulir una superficie "infinitamente".
En la práctica muchos científicos e ingenieros intentan fabricar superficies con la menor fricción posible con algún objetivo, por ejemplo, el de ahorrar combustible si se trata de un vehículo. Pero nunca van a poder deshacerse de este efecto en su totalidad.
Aunque no sea posible conseguir tal superficie en el mundo real, nada nos ha impedido imaginárnosla. Es decir hemos asignado un "tope", un límite, al hecho de pulir una superficie "infinitamente".
Como segundo ejemplo propongo analizar la siguiente situación:
Comenzamos con un triángulo inscrito en una circunferencia. Seguimos con un cuadrado. Y vamos aumentando el número de lados del polígono inscrito en la circunferencia sucesivamente. Después de aumentar aún más los lados del polígono inscrito en la circunferencia observamos que el polígono tiende a ocupar una superficie cada vez mayor dentro de la circunferencia. ¿Qué pasaría si aumentáramos los lados del polígono inscrito infinitamente?
Tal situación nos conduce inmediatamente a observar que si continuáramos aumentando el número de lados infinitamente llenaríamos toda la circunferencia. Entonces el límite de la sucesión infinita de pasos, que consisten en ir aumentando un lado al polígono inscrito anterior, nos da como resultado un círculo inscrito en una circunferencia.
Notar que aunque intentáramos seguir aumentando el número de lados una vez alcanzado el límite ya no tendría caso, pues al aumentar el número de lados de un círculo seguiríamos obteniendo un círculo.
Nuevamente debemos observar que si tomáramos una hoja de papel para intentar reproducir esta situación e intentáramos llegar al límite, no lo lograríamos. Pues nuestra vida es finita y no nos es posible repetir el número infinito de pasos que se requieren para que dibujemos un polígono con infinitos lados (un círculo). Debo aclarar que yo no estoy afirmando que no podamos dibujar un círculo en una hoja de papel, lo que estoy afirmando es que no nos sería posible si lo intentáramos siguiendo el procedimiento que estamos discutiendo,
Aún así nada nos ha impedido obtener este límite con nuestra imaginación.
Tercer ejemplo: En este ejemplo usaremos una de las paradojas de Zenón de Elea (495-435 a.c.). Pensemos en una flecha que ha sido lanzada desde un punto inicial, X=0, con el objetivo de que alcance un blanco ubicado en el punto X=1.
En cierto intervalo de tiempo la flecha habrá recorrido la mitad de la distancia entre el punto de origen y el blanco, pero aún le faltará hacer la mitad del recorrido.
Luego recorrerá la mitad de la distancia entre el punto X=1/2 y el blanco pero aún le faltará recorrer la otra mitad, es decir, le faltará recorrer la distancia desde x=1/4 hasta x=1.
Después cuando la flecha recorra la distancia entre X=1/4 y X=1/8 aún le faltara recorrer una distancia igual a la que ya ha reccorido para llegar al blanco.
Siguiendo este razonamiento es posible notar que a la flecha después de haber recorrido una distancia, igual a la mitad de la distancia que la separa del blanco, siempre le faltará recorrer una distancia igual a la que ya recorrió.
¿Esto quiere decir que la flecha nunca llega?
No. Es posible observar que en el límite de esta sucesión de recorridos la flecha llegará, tal como la experiencia lo dicta.
Este ejemplo es de gran utilidad pues ilustra como una situación matemática describe una situación física, es decir, este ejemplo muestra como la física y la matemática están vinculadas.
Tal situación nos conduce inmediatamente a observar que si continuáramos aumentando el número de lados infinitamente llenaríamos toda la circunferencia. Entonces el límite de la sucesión infinita de pasos, que consisten en ir aumentando un lado al polígono inscrito anterior, nos da como resultado un círculo inscrito en una circunferencia.
Notar que aunque intentáramos seguir aumentando el número de lados una vez alcanzado el límite ya no tendría caso, pues al aumentar el número de lados de un círculo seguiríamos obteniendo un círculo.
Nuevamente debemos observar que si tomáramos una hoja de papel para intentar reproducir esta situación e intentáramos llegar al límite, no lo lograríamos. Pues nuestra vida es finita y no nos es posible repetir el número infinito de pasos que se requieren para que dibujemos un polígono con infinitos lados (un círculo). Debo aclarar que yo no estoy afirmando que no podamos dibujar un círculo en una hoja de papel, lo que estoy afirmando es que no nos sería posible si lo intentáramos siguiendo el procedimiento que estamos discutiendo,
Aún así nada nos ha impedido obtener este límite con nuestra imaginación.
Tercer ejemplo: En este ejemplo usaremos una de las paradojas de Zenón de Elea (495-435 a.c.). Pensemos en una flecha que ha sido lanzada desde un punto inicial, X=0, con el objetivo de que alcance un blanco ubicado en el punto X=1.
En cierto intervalo de tiempo la flecha habrá recorrido la mitad de la distancia entre el punto de origen y el blanco, pero aún le faltará hacer la mitad del recorrido.
Luego recorrerá la mitad de la distancia entre el punto X=1/2 y el blanco pero aún le faltará recorrer la otra mitad, es decir, le faltará recorrer la distancia desde x=1/4 hasta x=1.
Después cuando la flecha recorra la distancia entre X=1/4 y X=1/8 aún le faltara recorrer una distancia igual a la que ya ha reccorido para llegar al blanco.
Siguiendo este razonamiento es posible notar que a la flecha después de haber recorrido una distancia, igual a la mitad de la distancia que la separa del blanco, siempre le faltará recorrer una distancia igual a la que ya recorrió.
¿Esto quiere decir que la flecha nunca llega?
No. Es posible observar que en el límite de esta sucesión de recorridos la flecha llegará, tal como la experiencia lo dicta.
Este ejemplo es de gran utilidad pues ilustra como una situación matemática describe una situación física, es decir, este ejemplo muestra como la física y la matemática están vinculadas.
