Algunas de las propiedades más importantes de los limites se muestran a continuación.
Sí c es una constante entoces para cualquier número
a se tiene
$$\displaystyle{\lim_{ x \rightarrow a}}\, \,c = c $$
$$\displaystyle{\lim_{ x \rightarrow a}}\, \,x = a $$
Sean \( \displaystyle{\lim_{ x \rightarrow a}}\, \, f(x) =l_{1} \) y \( \displaystyle{\lim_{ x \rightarrow a}} g(x)=l_{2} \), y donde n es cualquier número positivo, entonces
$$\displaystyle{\lim_{ x \rightarrow a}}\, \,[ f(x)+g(x)] =l_{1}+l_{2}$$
$$\displaystyle{\lim_{ x \rightarrow a}}\, \,[ f(x)\cdot g(x)] =l_{1}\cdot l_{2}$$
$$\displaystyle{\lim_{ x \rightarrow a}}\, \, [f(x) ]^n=[l_{1}]^n$$
$$\displaystyle{\lim_{ x \rightarrow a}}\, \,{ f(x) \over g(x)} ={l_{1} \over l_{2}}\, \, \, \, \, \, (con l_{2}\neq 0)$$
$$\displaystyle{\lim_{ x \rightarrow a}}\, \, \sqrt[n]{f(x)}=\sqrt[n]{l_{1}}\, \, \, \, \, \, \, \, ( l_{1}>0)$$
Ejemplos
$$\displaystyle{\lim_{ x \rightarrow 7}}\, \,5 = 5$$
$$\displaystyle{\lim_{ x \rightarrow 9}}\, \,x = 9 $$
\begin{align*}
\displaystyle{\lim_{ x \rightarrow 4}}\, \,x(2x+1)& = \displaystyle{\lim_{ x \rightarrow 4}}\, \,x \cdot\displaystyle{\lim_{ x \rightarrow 4}}\, \,(2x+1) \\
&= 4 \cdot 9\\
&=36
\end{align*}
\begin{align*}
\displaystyle{\lim_{ x \rightarrow -2}} \, \,(5x+7)^4 &= [\displaystyle{\lim_{ x \rightarrow -2}}(5x+7)]^4\\
&= (-3)^4\\
&= 81
\end{align*}
\begin{align*}
\displaystyle{\lim_{ x \rightarrow 4}}\, \,{x \over (-7x+1)}&= {\displaystyle{\lim_{ x \rightarrow 4}}\, \,x \over \displaystyle {\lim_{ x \rightarrow 4}}(-7x+1)}\\
& = {4 \over-27}\\
&= -{4 \over 27}
\end{align*}
\begin{align*}
\displaystyle{\lim_{ x \rightarrow 4}} \sqrt[3]{x \over (-7x+1)}&= \sqrt[3]{ \displaystyle{\lim_{ x \rightarrow 4}}\, \, {x \over (-7x+1)}}\\
&= \sqrt[3]{-{4 \over 27}}\\
&=- {\sqrt[3]{4} \over 3}
\end{align*}
\begin{align*}
\displaystyle{\lim_{ x \rightarrow 4}}\, \,x(2x+1)& = \displaystyle{\lim_{ x \rightarrow 4}}\, \,x \cdot\displaystyle{\lim_{ x \rightarrow 4}}\, \,(2x+1) \\
&= 4 \cdot 9\\
&=36
\end{align*}
Para hallar los siguientes primero se tiene que reducir la función de lo contrario tendremos \(0 \over 0\), por último se aplica el limite.
\begin{align*}
\displaystyle{\lim_{ x \rightarrow 5}}\, \,{x^2-25\over (x-5)}&= {\displaystyle{\lim_{ x \rightarrow 5}}\, \,(x-5)(x+5) \over \displaystyle {\lim_{ x \rightarrow 5}}(x-5)}\\
& = \displaystyle {\lim_{ x \rightarrow 5}}(x+5)\\
&= 10
\end{align*}
\begin{align*}
\displaystyle{\lim_{ x \rightarrow 4}}{{\sqrt {x}-2}\over{ x-4}}&= {\displaystyle{\lim_{ x \rightarrow 4}}{(\sqrt {x}-2)(\sqrt {x}+2) }\over \displaystyle {\lim_{ x \rightarrow 4}}{(x-4)(\sqrt {x}+2)}}\\
&= \displaystyle{\lim_{ x \rightarrow 4}}{1 \over \sqrt {x}+2}\\
&={\displaystyle{\lim_{ x \rightarrow 4}}1 \over \sqrt {\displaystyle{\lim_{ x \rightarrow 4}}x+\displaystyle{\lim_{ x \rightarrow 4}}2}}\\
&= {1\over \sqrt{4}+2}\\
&= {1\over 4}
\end{align*}
