7 Graficador de Ecuaciones de Geometría Analítica Online

En está ocasión comparto esta herramienta para hacer gráficas de las ecuaciones que nos encontramos en geometría analítica. Usa esta herramienta online sin instalarla en tu computadora cuantas veces desees y gratis.

Sólo debemos ingresar la ecuación y visualizar el resultado. El programa reconoce automáticamente  la figura geométrica de la que se trata y ajusta el tamaño del gráfico para poder visualizarla.

Como es costumbre incluyo algunos ejemplos para que aprendan a usarla. Si tienen sugerencias sobre otro tipo de herramientas o en caso de dudas dejen un comentario.

Noten que es necesario ingresar una ecuación por lo que el signo igual debe estar presente.

Ejemplos:

Curva: 

En la casilla ecuación ingresamos:  (x+1)^2/4+(y-1)^2/9=1

Al dar clic en graficar obtenemos:

Curva:

En la casilla ecuación ingresamos:  3*x+4*y=4

Al dar clic en graficar obtenemos:

Curva:

En la casilla ecuación ingresamos:  x^2-y^2=9

Al dar clic en graficar obtenemos:

16 Graficador de Funciones de Dos Variables y Curvas de Nivel en 3D Online

Esta vez te proporcionamos esta herramienta para que puedas hacer gráficas en tres dimensiones de funciones que dependen de dos variables junto con sus curvas de nivel. Sólo ingresa la funciones que desees graficar y los limites de las variables dependientes "x" e "y".  Usa esta herramienta online sin instalarla en tu computadora cuantas veces desees y gratis.

Si tienes dudas sobre como usar la herramienta no olvides dejar un comentario.

Ejemplo:

Curva: 

En el cuadro función ingresamos: sin(x)*sin(y)

Con los límites: 

X inicial: -10

X final: 10

Y inicial: -10

Y final: 10

Después de presionar graficar obtenemos:

7 Graficadora de Funciones Online

Utiliza esta sencilla herramienta para graficar funciones de una variable. Puedes elegir los límites en "x" y visualizar los resultados inmediatamente en dos dimensiones. Sólo puedes graficar una función a la vez.  Usa esta herramienta online sin instalarla en tu computadora cuantas veces desees y gratis.

Si tienes duda sobre como usar esta herramienta no dudes en dejar un comentario.

Ejemplos:

Curva:

Para obtener la curva anterior en el cuadro función ingresamos: x^5+3*x^3+9

Cuando definimos de la siguiente forma los límites:

Desde: -1.5

Hasta: 2

Tenemos el resultado siguiente después de dar clic en el botón Graficar:

Curva:

Para obtener la curva anterior en el cuadro función ingresamos: x*e^(-x^2)

Cuando definimos de la siguiente forma los límites:

Desde: 0

Hasta: 3

Tenemos el resultado siguiente después de dar clic en el botón Graficar:

Inclusive podemos graficar funciones especiales. Curva:

Para obtener la curva anterior en el cuadro función ingresamos: Gamma(x)

Cuando definimos de la siguiente forma los límites:

Desde: -2

Hasta: 3

Tenemos el resultado siguiente después de dar clic en el botón Graficar:

0 División Sintética

La división sintética nos provee de un procedimiento sencillo con el cual dividir un polinomio entre un monomio. Veremos diferentes ejemplos. Que te diviertas.

La división sintética sólo puede llevarse a cabo en fracciones de la forma:

$$ \frac { {a_{n}x }^{ n }+{a_{n-1}x }^{ n-1}+...+{a_{1}x }+a_{0}}{ x-a } $$

Ejemplo: Efectuar la siguiente división en forma sintética.

$$ \frac { { x }^{ 4 }-3x^3+2x^2-x+6 }{ x-2 } $$

0 Límites infinitos

Teorema 1: Sí \(\displaystyle{\lim_{ x \rightarrow a}}\,f(x) =l_{1}\) y \( \displaystyle{\lim_{ x \rightarrow a}} f(x)=l_{2}\,\,entonces \,\, l_{1}= l_{2}\)
Cualquiera pensaría que es un teorema burdo, sin embargo lo que nos dice este teorema es que el limite es único y usando el siguiente teorema se hallaran varios limites.

Teorema 2: El límite \(\displaystyle{\lim_{ x \rightarrow a}} \,\,f(x) =l \)  sí y solo si \(\displaystyle{\lim_{ x \rightarrow a^-}}\) y \(\displaystyle{\lim_{ x \rightarrow a^+}}\) existen y son iguales a \( l \)

 Teorema 3: Sí r es cualquier número entero positivo, entonces \(\displaystyle{\lim_{ x \rightarrow 0^+}}{ 1\over x^r} =+\infty\)

\begin{align*}
\lim _{ x\rightarrow 0^{ - } }{ \frac { 1 }{ x^{ r } }  } = \begin{cases}- \infty \ si \ r \ es \ impar \\ \infty \ si \ r \ es \ par \end{cases}
\end{align*}

Teorema 4: Sí r es cualquier número entero positivo, entonces \(\displaystyle{\lim_{ x \rightarrow\infty }}{ 1\over x^r}= 0\)
Ejemplos:

1.- Para hallar el límite de la función \(\displaystyle{\lim_{ x \rightarrow 0}}{ 1\over x}\) empleamos el teorema 1.
\begin{align*}
\displaystyle{\lim_{ x \rightarrow 0⁺}}{ 1\over x}&= +\infty\\
\displaystyle{\lim_{ x \rightarrow 0^-}}{ 1\over x}&= -\infty\\
\end{align*}
como los límites son diferentes el límite no existe.
2.- Para hallar el límite de la función \(\displaystyle{\lim_{ x \rightarrow 0}}{ 1\over x^2}\)empleamos el teorema 1.
\begin{align*}
\displaystyle{\lim_{ x \rightarrow 0⁺}}{ 1\over x^2}&= +\infty\\
\displaystyle{\lim_{ x \rightarrow 0^-}}{ 1\over x²}&= +\infty\
\end{align*}
en este caso \(\displaystyle{\lim_{ x \rightarrow 0}}{ 1\over x^2}= +\infty\), si nos fijamos en el teorema 3 se obtiene lo mismo.


3.- Para hallar el límite de la función \(\displaystyle{\lim_{ x \rightarrow \infty}}{ x\over x-1}\) notemos que :

\begin{align*}
\displaystyle{\lim_{ x \rightarrow \infty}}{ x\over x-1}&=  \displaystyle{\lim_{x\rightarrow \infty}}{ 1\over 1-{1\over x}}\\
&={ \displaystyle{\lim_{x \rightarrow \infty}}1\over \displaystyle{\lim_{x \rightarrow \infty}}1-\displaystyle{\lim_{x \rightarrow \infty}}{1\over x}}\\
&= {1 \over 1-0}\,\,\,(empleando\,\,\,el\,\,\, teorema \,\,\,4)\\
&= 1
\end{align*}

0 Formulario de Límites

Algunas de las propiedades más importantes de los limites  se muestran a continuación.
Sí c es una constante entoces para cualquier número  a se tiene
$$\displaystyle{\lim_{ x \rightarrow a}}\, \,c  = c $$
$$\displaystyle{\lim_{ x \rightarrow a}}\, \,x = a $$
Sean \( \displaystyle{\lim_{ x \rightarrow a}}\, \, f(x) =l_{1} \) y \( \displaystyle{\lim_{ x \rightarrow a}} g(x)=l_{2} \), y donde n es cualquier número positivo, entonces
$$\displaystyle{\lim_{ x \rightarrow a}}\, \,[ f(x)+g(x)] =l_{1}+l_{2}$$
$$\displaystyle{\lim_{ x \rightarrow a}}\, \,[ f(x)\cdot g(x)] =l_{1}\cdot l_{2}$$
$$\displaystyle{\lim_{ x \rightarrow a}}\, \, [f(x) ]^n=[l_{1}]^n$$
$$\displaystyle{\lim_{ x \rightarrow a}}\, \,{ f(x) \over g(x)} ={l_{1} \over l_{2}}\, \, \, \, \, \,  (con l_{2}\neq 0)$$
$$\displaystyle{\lim_{ x \rightarrow a}}\, \, \sqrt[n]{f(x)}=\sqrt[n]{l_{1}}\, \, \, \, \, \, \, \, ( l_{1}>0)$$
Ejemplos
$$\displaystyle{\lim_{ x \rightarrow 7}}\, \,5 = 5$$
$$\displaystyle{\lim_{ x \rightarrow 9}}\, \,x = 9 $$

\begin{align*}
\displaystyle{\lim_{ x \rightarrow 4}}\, \,x(2x+1)& =  \displaystyle{\lim_{ x \rightarrow 4}}\, \,x \cdot\displaystyle{\lim_{ x \rightarrow 4}}\, \,(2x+1) \\
&=  4 \cdot 9\\
&=36
\end{align*}

\begin{align*}
\displaystyle{\lim_{ x \rightarrow -2}} \, \,(5x+7)^4 &= [\displaystyle{\lim_{ x \rightarrow -2}}(5x+7)]^4\\
&=  (-3)^4\\
&=  81
\end{align*}

\begin{align*}
\displaystyle{\lim_{ x \rightarrow 4}}\, \,{x \over (-7x+1)}&= {\displaystyle{\lim_{ x \rightarrow 4}}\, \,x \over \displaystyle {\lim_{ x \rightarrow 4}}(-7x+1)}\\
& = {4 \over-27}\\
&= -{4 \over 27}
\end{align*}

\begin{align*}
\displaystyle{\lim_{ x \rightarrow 4}} \sqrt[3]{x \over (-7x+1)}&=  \sqrt[3]{ \displaystyle{\lim_{ x \rightarrow 4}}\, \, {x \over (-7x+1)}}\\
&= \sqrt[3]{-{4 \over 27}}\\
&=- {\sqrt[3]{4} \over 3}
\end{align*}

\begin{align*}
\displaystyle{\lim_{ x \rightarrow 4}}\, \,x(2x+1)& =  \displaystyle{\lim_{ x \rightarrow 4}}\, \,x \cdot\displaystyle{\lim_{ x \rightarrow 4}}\, \,(2x+1) \\
&=  4 \cdot 9\\
&=36
\end{align*}
Para hallar los siguientes primero se tiene que reducir la función de lo contrario tendremos \(0 \over 0\), por último se aplica el limite.
\begin{align*}
\displaystyle{\lim_{ x \rightarrow 5}}\, \,{x^2-25\over (x-5)}&= {\displaystyle{\lim_{ x \rightarrow 5}}\, \,(x-5)(x+5) \over \displaystyle {\lim_{ x \rightarrow 5}}(x-5)}\\
& = \displaystyle {\lim_{ x \rightarrow 5}}(x+5)\\
&= 10
\end{align*}

\begin{align*}
\displaystyle{\lim_{ x \rightarrow 4}}{{\sqrt {x}-2}\over{ x-4}}&= {\displaystyle{\lim_{ x \rightarrow 4}}{(\sqrt {x}-2)(\sqrt {x}+2) }\over \displaystyle {\lim_{ x \rightarrow 4}}{(x-4)(\sqrt {x}+2)}}\\
&= \displaystyle{\lim_{ x \rightarrow 4}}{1 \over \sqrt {x}+2}\\
&={\displaystyle{\lim_{ x \rightarrow 4}}1 \over \sqrt {\displaystyle{\lim_{ x \rightarrow 4}}x+\displaystyle{\lim_{ x \rightarrow 4}}2}}\\
&= {1\over \sqrt{4}+2}\\
&= {1\over 4}
\end{align*}

2 Fórmulas de integración

Aquí presentamos una tabla de integrales. El formulario contiene las integrales básicas y algunas de las más usadas. Debemos recordar que integrar es en general más dificil que derivar. Es por eso que en futuras entradas del blog incluiremos un formulario con técnicas de integración.

Descarga aquí el formulario en PDF para IMPRIMIR

Esperamos les sea de utilidad.

0 Formulario de Derivadas

Lo prometido es deuda. Aquí está la tabla de derivadas que prometimos. Se encuentran las fórmulas más comunes. Esperamos que les sea de utilidad.

Derivar es un proceso sencillo, sin embargo tener este formulario te evitará tener que memorizar todas las derivadad.

Recordemos también que cuando derivemos debemos estar conscientes que para algunas funciones la derivada no existe, es decir el límite del que depende la derivada no existe. Para aclarar está situación en futuras entradas del blog ingresaremos una discusión de límites junto con un formulario.

Descarga el formulario de derivadas aquí en PDF para IMPRIMIR

0 ¿Qué es el límite?

El primer paso que debe darse en el emprendimiento del estudio de cualquier ciencia exacta es el aprender, o cuando sea el caso, revisar los conceptos necesarios de matemáticas.

El primer paso que Newton dio para poder llegar a sus famosas ecuaciones de movimiento fue el de desarrollar los conceptos del cálculo infinitesimal. Es por eso que en esta y en posteriores entradas de este blog nos concentraremos en la revisión de los conceptos del cálculo que son necesarios para entender y usar las ecuaciones de Newton.

Nota: El cálculo infinitesimal se refiere al que se ocupa de analizar las cantidades infinitamente pequeñas. Actualmente nos referimos al cálculo infinitesimal simplemente con el término cálculo.

El concepto más importante  del cálculo es el de límite. En una clase en la universidad un profesor nos dijo: "Si Arquímedes hubiera tenido el concepto de límite seguramente habría desarrollado todo el cálculo". El comentario de mi profesor debe animarnos a explorar este concepto con interés pues al principio nos parecerá un concepto muy abstracto y para quienes lo ven por primera vez  creerán que no tiene utilidad. Intentaré ilustrar este concepto lo más simple posible antes de introducir la definición formal del límite de una función.

Nota: Analizaremos las funciones y su definición matemática en posteriores entradas de este blog.

El primer ejemplo que se me ocurre como físico de límite es el de una superficie sin fricción. Tal superficie en la realidad no existe pero podemos imaginarnos que podemos pulir una superficie lo suficientemente  para poder dejarla totalmente lisa y de este modo obtener una superficie que no ejerce fricción alguna sobre otra.




En la práctica muchos científicos e ingenieros intentan fabricar superficies con la menor fricción posible con  algún objetivo, por ejemplo, el de ahorrar combustible si se trata de un vehículo. Pero nunca van a poder deshacerse de este efecto en su totalidad.


Aunque no sea posible conseguir tal superficie en el mundo real, nada nos ha impedido imaginárnosla. Es decir hemos asignado un "tope", un límite, al hecho de pulir una superficie "infinitamente".

Como segundo ejemplo propongo analizar la siguiente situación:

Comenzamos con un triángulo inscrito en una circunferencia. Seguimos con un cuadrado. Y vamos aumentando el número de lados del polígono inscrito en la circunferencia sucesivamente. Después de aumentar aún más los lados del polígono inscrito en la circunferencia observamos que el polígono tiende a ocupar una superficie cada vez mayor dentro de la circunferencia. ¿Qué pasaría si aumentáramos los lados del polígono inscrito infinitamente?


Tal situación nos conduce inmediatamente a observar que si continuáramos aumentando el número de lados infinitamente llenaríamos toda la circunferencia. Entonces el límite de  la sucesión infinita de pasos, que consisten en ir aumentando un lado al polígono inscrito anterior, nos da como resultado un círculo inscrito en una circunferencia.


Notar que aunque intentáramos seguir aumentando el número de lados una vez alcanzado el límite ya no tendría caso, pues al aumentar el número de lados de un círculo seguiríamos obteniendo un círculo.


Nuevamente debemos observar que si tomáramos una hoja de papel para intentar reproducir esta situación e  intentáramos llegar al límite, no lo lograríamos. Pues nuestra vida es finita y no nos es posible repetir el número infinito de pasos que se requieren para que dibujemos un polígono con infinitos lados (un círculo). Debo aclarar que yo no estoy afirmando que no podamos dibujar un círculo en una hoja de papel, lo que estoy afirmando es que no nos sería posible si lo intentáramos siguiendo el procedimiento que estamos discutiendo,


Aún así nada nos ha impedido obtener este límite con nuestra imaginación.

Tercer ejemplo: En este ejemplo usaremos una de las paradojas de Zenón de Elea (495-435 a.c.). Pensemos en una flecha que ha sido lanzada desde un punto inicial, X=0, con el objetivo de que alcance un blanco ubicado en el punto X=1. 

En cierto intervalo de tiempo la flecha habrá recorrido la mitad de la distancia entre el punto de origen y el blanco, pero aún le faltará hacer la mitad del recorrido.

Luego recorrerá la mitad de la distancia entre el punto X=1/2 y el blanco pero aún le faltará recorrer la otra mitad, es decir, le faltará recorrer  la distancia desde x=1/4 hasta x=1.

Después cuando la flecha recorra la distancia entre X=1/4 y X=1/8 aún le faltara recorrer una distancia igual a la que ya ha reccorido para llegar al blanco.


Siguiendo este razonamiento es posible notar que a la flecha después de haber recorrido una distancia, igual a la mitad de la distancia que la separa del blanco, siempre le faltará recorrer una distancia igual a la que ya recorrió.

¿Esto quiere decir que la flecha nunca llega?

No. Es posible observar que en el límite de esta sucesión de recorridos la flecha llegará, tal como la experiencia lo dicta.


Este ejemplo es de gran utilidad pues ilustra como una situación matemática describe una situación física, es decir, este ejemplo muestra como la física y la matemática están vinculadas.