0 Límites infinitos

Teorema 1: Sí $\displaystyle{\lim_{ x \rightarrow a}}\,f(x) =l_{1}$ y $\displaystyle{\lim_{ x \rightarrow a}} f(x)=l_{2}\,\,entonces \,\, l_{1}= l_{2}$
Cualquiera pensaría que es un teorema burdo, sin embargo lo que nos dice este teorema es que el limite es único y usando el siguiente teorema se hallaran varios limites.

Teorema 2: El límite $\displaystyle{\lim_{ x \rightarrow a}} \,\,f(x) =l$  sí y solo si $\displaystyle{\lim_{ x \rightarrow a^-}}$ y $\displaystyle{\lim_{ x \rightarrow a^+}}$ existen y son iguales a $l$

 Teorema 3: Sí r es cualquier número entero positivo, entonces $\displaystyle{\lim_{ x \rightarrow 0^+}}{ 1\over x^r} =+\infty$

$$\begin{align*} \lim _{ x\rightarrow 0^{ - } }{ \frac { 1 }{ x^{ r } }  } = \begin{cases}- \infty \ si \ r \ es \ impar \\ \infty \ si \ r \ es \ par \end{cases} \end{align*}$$

Teorema 4: Sí r es cualquier número entero positivo, entonces $\displaystyle{\lim_{ x \rightarrow\infty }}{ 1\over x^r}= 0$
Ejemplos:

1.- Para hallar el límite de la función $\displaystyle{\lim_{ x \rightarrow 0}}{ 1\over x}$ empleamos el teorema 1.
$$\begin{align*} \displaystyle{\lim_{ x \rightarrow 0⁺}}{ 1\over x}&= +\infty\\ \displaystyle{\lim_{ x \rightarrow 0^-}}{ 1\over x}&= -\infty\\ \end{align*}$$
como los límites son diferentes el límite no existe.
2.- Para hallar el límite de la función $\displaystyle{\lim_{ x \rightarrow 0}}{ 1\over x^2}$empleamos el teorema 1.
$$\begin{align*} \displaystyle{\lim_{ x \rightarrow 0⁺}}{ 1\over x^2}&= +\infty\\ \displaystyle{\lim_{ x \rightarrow 0^-}}{ 1\over x²}&= +\infty\ \end{align*}$$
en este caso $\displaystyle{\lim_{ x \rightarrow 0}}{ 1\over x^2}= +\infty$, si nos fijamos en el teorema 3 se obtiene lo mismo.


3.- Para hallar el límite de la función $\displaystyle{\lim_{ x \rightarrow \infty}}{ x\over x-1}$ notemos que :

$$\begin{align*} \displaystyle{\lim_{ x \rightarrow \infty}}{ x\over x-1}&=  \displaystyle{\lim_{x\rightarrow \infty}}{ 1\over 1-{1\over x}}\\ &={ \displaystyle{\lim_{x \rightarrow \infty}}1\over \displaystyle{\lim_{x \rightarrow \infty}}1-\displaystyle{\lim_{x \rightarrow \infty}}{1\over x}}\\ &= {1 \over 1-0}\,\,\,(empleando\,\,\,el\,\,\, teorema \,\,\,4)\\ &= 1 \end{align*}$$