0 Límites infinitos

Teorema 1: Sí \(\displaystyle{\lim_{ x \rightarrow a}}\,f(x) =l_{1}\) y \( \displaystyle{\lim_{ x \rightarrow a}} f(x)=l_{2}\,\,entonces \,\, l_{1}= l_{2}\)
Cualquiera pensaría que es un teorema burdo, sin embargo lo que nos dice este teorema es que el limite es único y usando el siguiente teorema se hallaran varios limites.

Teorema 2: El límite \(\displaystyle{\lim_{ x \rightarrow a}} \,\,f(x) =l \)  sí y solo si \(\displaystyle{\lim_{ x \rightarrow a^-}}\) y \(\displaystyle{\lim_{ x \rightarrow a^+}}\) existen y son iguales a \( l \)

 Teorema 3: Sí r es cualquier número entero positivo, entonces \(\displaystyle{\lim_{ x \rightarrow 0^+}}{ 1\over x^r} =+\infty\)

\begin{align*}
\lim _{ x\rightarrow 0^{ - } }{ \frac { 1 }{ x^{ r } }  } = \begin{cases}- \infty \ si \ r \ es \ impar \\ \infty \ si \ r \ es \ par \end{cases}
\end{align*}

Teorema 4: Sí r es cualquier número entero positivo, entonces \(\displaystyle{\lim_{ x \rightarrow\infty }}{ 1\over x^r}= 0\)
Ejemplos:

1.- Para hallar el límite de la función \(\displaystyle{\lim_{ x \rightarrow 0}}{ 1\over x}\) empleamos el teorema 1.
\begin{align*}
\displaystyle{\lim_{ x \rightarrow 0⁺}}{ 1\over x}&= +\infty\\
\displaystyle{\lim_{ x \rightarrow 0^-}}{ 1\over x}&= -\infty\\
\end{align*}
como los límites son diferentes el límite no existe.
2.- Para hallar el límite de la función \(\displaystyle{\lim_{ x \rightarrow 0}}{ 1\over x^2}\)empleamos el teorema 1.
\begin{align*}
\displaystyle{\lim_{ x \rightarrow 0⁺}}{ 1\over x^2}&= +\infty\\
\displaystyle{\lim_{ x \rightarrow 0^-}}{ 1\over x²}&= +\infty\
\end{align*}
en este caso \(\displaystyle{\lim_{ x \rightarrow 0}}{ 1\over x^2}= +\infty\), si nos fijamos en el teorema 3 se obtiene lo mismo.


3.- Para hallar el límite de la función \(\displaystyle{\lim_{ x \rightarrow \infty}}{ x\over x-1}\) notemos que :

\begin{align*}
\displaystyle{\lim_{ x \rightarrow \infty}}{ x\over x-1}&=  \displaystyle{\lim_{x\rightarrow \infty}}{ 1\over 1-{1\over x}}\\
&={ \displaystyle{\lim_{x \rightarrow \infty}}1\over \displaystyle{\lim_{x \rightarrow \infty}}1-\displaystyle{\lim_{x \rightarrow \infty}}{1\over x}}\\
&= {1 \over 1-0}\,\,\,(empleando\,\,\,el\,\,\, teorema \,\,\,4)\\
&= 1
\end{align*}