0 Formulario de Límites

Algunas de las propiedades más importantes de los limites  se muestran a continuación.
Sí c es una constante entoces para cualquier número  a se tiene
$$\displaystyle{\lim_{ x \rightarrow a}}\, \,c  = c$$
$$\displaystyle{\lim_{ x \rightarrow a}}\, \,x = a$$
Sean $\displaystyle{\lim_{ x \rightarrow a}}\, \, f(x) =l_{1}$ y $\displaystyle{\lim_{ x \rightarrow a}} g(x)=l_{2}$, y donde n es cualquier número positivo, entonces
$$\displaystyle{\lim_{ x \rightarrow a}}\, \,[ f(x)+g(x)] =l_{1}+l_{2}$$
$$\displaystyle{\lim_{ x \rightarrow a}}\, \,[ f(x)\cdot g(x)] =l_{1}\cdot l_{2}$$
$$\displaystyle{\lim_{ x \rightarrow a}}\, \, [f(x) ]^n=[l_{1}]^n$$
$$\displaystyle{\lim_{ x \rightarrow a}}\, \,{ f(x) \over g(x)} ={l_{1} \over l_{2}}\, \, \, \, \, \,  (con l_{2}\neq 0)$$
$$\displaystyle{\lim_{ x \rightarrow a}}\, \, \sqrt[n]{f(x)}=\sqrt[n]{l_{1}}\, \, \, \, \, \, \, \, ( l_{1}>0)$$
Ejemplos
$$\displaystyle{\lim_{ x \rightarrow 7}}\, \,5 = 5$$
$$\displaystyle{\lim_{ x \rightarrow 9}}\, \,x = 9$$

$$\begin{align*} \displaystyle{\lim_{ x \rightarrow 4}}\, \,x(2x+1)& =  \displaystyle{\lim_{ x \rightarrow 4}}\, \,x \cdot\displaystyle{\lim_{ x \rightarrow 4}}\, \,(2x+1) \\ &=  4 \cdot 9\\ &=36 \end{align*}$$

$$\begin{align*} \displaystyle{\lim_{ x \rightarrow -2}} \, \,(5x+7)^4 &= [\displaystyle{\lim_{ x \rightarrow -2}}(5x+7)]^4\\ &=  (-3)^4\\ &=  81 \end{align*}$$

$$\begin{align*} \displaystyle{\lim_{ x \rightarrow 4}}\, \,{x \over (-7x+1)}&= {\displaystyle{\lim_{ x \rightarrow 4}}\, \,x \over \displaystyle {\lim_{ x \rightarrow 4}}(-7x+1)}\\ & = {4 \over-27}\\ &= -{4 \over 27} \end{align*}$$

$$\begin{align*} \displaystyle{\lim_{ x \rightarrow 4}} \sqrt[3]{x \over (-7x+1)}&=  \sqrt[3]{ \displaystyle{\lim_{ x \rightarrow 4}}\, \, {x \over (-7x+1)}}\\ &= \sqrt[3]{-{4 \over 27}}\\ &=- {\sqrt[3]{4} \over 3} \end{align*}$$

$$\begin{align*} \displaystyle{\lim_{ x \rightarrow 4}}\, \,x(2x+1)& =  \displaystyle{\lim_{ x \rightarrow 4}}\, \,x \cdot\displaystyle{\lim_{ x \rightarrow 4}}\, \,(2x+1) \\ &=  4 \cdot 9\\ &=36 \end{align*}$$
Para hallar los siguientes primero se tiene que reducir la función de lo contrario tendremos $0 \over 0$, por último se aplica el limite.
$$\begin{align*} \displaystyle{\lim_{ x \rightarrow 5}}\, \,{x^2-25\over (x-5)}&= {\displaystyle{\lim_{ x \rightarrow 5}}\, \,(x-5)(x+5) \over \displaystyle {\lim_{ x \rightarrow 5}}(x-5)}\\ & = \displaystyle {\lim_{ x \rightarrow 5}}(x+5)\\ &= 10 \end{align*}$$

$$\begin{align*} \displaystyle{\lim_{ x \rightarrow 4}}{{\sqrt {x}-2}\over{ x-4}}&= {\displaystyle{\lim_{ x \rightarrow 4}}{(\sqrt {x}-2)(\sqrt {x}+2) }\over \displaystyle {\lim_{ x \rightarrow 4}}{(x-4)(\sqrt {x}+2)}}\\ &= \displaystyle{\lim_{ x \rightarrow 4}}{1 \over \sqrt {x}+2}\\ &={\displaystyle{\lim_{ x \rightarrow 4}}1 \over \sqrt {\displaystyle{\lim_{ x \rightarrow 4}}x+\displaystyle{\lim_{ x \rightarrow 4}}2}}\\ &= {1\over \sqrt{4}+2}\\ &= {1\over 4} \end{align*}$$